部分分数分解とは
ここで扱う部分分数分解とは，分母が因数分解された形になっている分数を，複数の分数に分ける操作のことです．積分や数列の計算でよく使います．
部分分数分解のやり方 例題と解説
ここでは，部分分数分解を利用して数列の和を求める簡単な例を紹介します．
例１ 次の和を求めよ．
$\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+\frac{1}{4\cdot5}+\cdots\cdots+\frac{1}{(n+1)(n+2)}$
$\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+\frac{1}{4\cdot5}+\cdots\cdots+\frac{1}{(n+1)(n+2)}$
この問題は，一般項が$\frac{1}{(n+1)(n+2)}$である数列の初項から第$n$項までの和を求めるものです．
$\frac{1}{(n+1)(n+2)}$の分母が因数分解された形になっているので，部分分数分解します．
まず，次のように，分子を$1$とする2つの分数の差に分解します．
項の順番は，(大きい数)$-$(小さい数)にします．
$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$
そして，これを通分します．
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}&=&\frac{(n+2)-(n+1)}{(n+1)(n+2)}\\ &=&\frac{1}{(n+1)(n+2)} \end{eqnarray*}$
よって，$\frac{1}{(n+1)(n+2)}=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$であるので，
$\scriptsize{\begin{eqnarray*} &&\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+\frac{1}{4\cdot5}+\cdots\cdots+\frac{1}{(n+1)(n+2)}\\ &=&(\frac{1}{2}\style{color: red;}{-\frac{1}{3}})\style{color: red;}{+}(\style{color: red;}{\frac{1}{3}}\style{color: blue;}{-\frac{1}{4}})\style{color: blue;}{+}(\style{color: blue;}{\frac{1}{4}}\style{color: orange;}{-\frac{1}{5}})\style{color: orange;}{+}\cdots\cdots\style{color: green;}{+}(\style{color: green;}{\frac{1}{n+1}}-\frac{1}{n+2})\\ &=&\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}\\ &=&\frac{n}{2(n+2)} \end{eqnarray*}}$
例２ 次の和を求めよ．
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+2)}$
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+2)}$
$\frac{1}{k(k+2)}$の分母が因数分解された形になっているので，部分分数分解します．
まず，例１と同様に，分子を$1$とする2つの分数の差に分解します．
項の順番は，(大きい数)$-$(小さい数)にします．
$\frac{1}{k}-\frac{1}{k+2}$
そして，これを通分します．
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{k}-\frac{1}{k+2}&=&\frac{(k+2)-k}{k(k+2)}\\ &=&\frac{2}{k(k+2)} \end{eqnarray*}$
よって，
$\frac{1}{k(k+2)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+2})$
$\scriptsize{\begin{eqnarray*} &&\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+2)}=\frac{1}{2}\displaystyle \sum_{k=1}^{n}(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+2})\\ &=&\frac{1}{2}\{(\frac{1}{1}\style{color: red;}{-\frac{1}{3}})+(\frac{1}{2}\style{color: blue;}{-\frac{1}{4}})\style{color: red;}{+}(\style{color: red;}{\frac{1}{3}}\style{color: orange;}{-\frac{1}{5}})\style{color: blue;}{+}(\style{color: blue;}{\frac{1}{4}}\style{color: green;}{-\frac{1}{6}})\style{color: orange;}{+}\cdots\cdots\\ &&\cdots\cdots\style{color: blue;}{+}(\style{color: blue;}{\frac{1}{n-1}}-\frac{1}{n+1})\style{color: red;}{+}(\style{color: red;}{\frac{1}{n}}-\frac{1}{n+2})\}\\ &&\style{color: red;}{上のように，式の前半で2つの項が残るとき，}\\ &&\style{color: red;}{後半も対称的に2つの項が残ります．}\\ &=&\frac{1}{2}(1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2})\\ &=&\frac{1}{2}(\frac{3}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2})\\ &=&\frac{1}{2}\cdot\frac{3(n+1)(n+2)-2(n+2)-2(n+1)}{2(n+1)(n+2)}\\ &=&\frac{n(3n+5)}{4(n+1)(n+2)} \end{eqnarray*}}$