2017/07/05

指数が対数(log乗)であるものの値の求め方




 $9^{\log_{3}7}$のように,指数が対数になっているものの値の計算方法を解説します.




例題と計算方法の解説


例1 $2^{\log_{2}3}$の値を求めよ.
最もわかりやすい解き方は次の方法だと思います.

まず,$2^{\log_{2}3}=A$とおきます.

$2$を底とする対数をとると,
$\log_{2}2^{\log_{2}3}=\log_{2}A\\ \log_{2}3\log_{2}2=\log_{2}A\\ \log_{2}3=\log_{2}A\\ 3=A$

ところで,$2^{\log_{2}3}=A$とおいていたので,

$2^{\log_{2}3}=3$




例2 $9^{\log_{3}7}$の値を求めよ.
$9^{\log_{3}7}=A$とおきます.

式中の$9$と$3$がどちらも$3$の累乗なので,$3$を底とする対数をとるとうまくいきます.
$\log_{3}9^{\log_{3}7}=\log_{3}A\\ \log_{3}7\log_{3}9=\log_{3}A\\ \log_{3}7\log_{3}3^2=\log_{3}A\\ 2\log_{3}7=\log_{3}A\\ \log_{3}7^2=\log_{3}A\\ 49=A$

$9^{\log_{3}7}=A$とおいていたので,

$9^{\log_{3}7}=49$


例3 $64^{\log_{8}5}$の値を求めよ.
$64^{\log_{8}5}=A$とおきます.

式中の$64$と$8$がどちらも$8$の累乗なので,$8$を底とする対数をとるとうまくいきます.
(計算量が増えますが,$2$を底とする対数をとっても計算できます.)
$\log_{8}64^{\log_{8}5}=\log_{8}A\\ \log_{8}5\log_{8}64=\log_{8}A\\ \log_{8}5\log_{8}8^2=\log_{8}A\\ 2\log_{8}5=\log_{8}A\\ \log_{8}5^2=\log_{8}A\\ 25=A$

$64^{\log_{8}5}=A$とおいていたので,

$64^{\log_{8}5}=25$