組立除法や筆算は時間がかかる
$x^3+5x^2+11x-6$ のような３次以上の多項式を高次式といいます．高次式の因数分解は，高次方程式や高次不等式を解く際に行う計算です．
因数定理が使える場合，高次式を因数分解するためには，まず因数定理を用いて因数を一つ見つけた後，組立除法か多項式の筆算を用いるのが一般的です．
しかし，組立除法や多項式の筆算は複雑で時間がかかってしまいます．
この記事では，組立除法や筆算を使わずに，高次式を簡単に速く因数分解する方法を，例題を使って紹介します．
例題と解説
3次式の因数分解
例１ $P(x)=x^3-6x^2+11x-6$を因数分解せよ．
$P(1)=1-6+11-6=0$ より， $P(x)$ は $x-1$ を因数にもつので，
$P(x)=(x-1)(ax^2+bx+c)$
という形に因数分解されることがわかります．
ここで，係数 $a,b,c$ を求めるために，一般には組立除法または $(x^3-6x^2+11x-6)\div(x-1)$ の筆算を行いますが，これらの手法を使わずに求めていきます．
求め方は単純で， $(x-1)(ax^2+bx+c)$ を展開したときに $x^3-6x^2+11x-6$ となるように係数 $a,b,c$ を定めるというものです．
まず， $a$ と $c$ はすぐに求めることができます．
展開後の $x^3$ の係数が $1$ となるためには， $a=1$ でなければならないことは明らかです．
また，展開後の定数項が $-6$ となるためには， $c=6$ でなければならないことも明らかです．
展開後の $x^3$ の係数が $1$ となるためには， $a=1$ でなければならないことは明らかです．
また，展開後の定数項が $-6$ となるためには， $c=6$ でなければならないことも明らかです．
よって，
$x^3-6x^2+11x-6＝(x-1)(x^2+bx+6)$
となります．
次に， $b$ を求めるために，展開後の $x^2$ の係数に着目します．
展開後の $x^2$ の係数が $-6$ となるためには， $bx^2-x^2=-6x^2$ でなければなりません．
よって， $b=-5$ であることがわかります．
展開後の $x^2$ の係数が $-6$ となるためには， $bx^2-x^2=-6x^2$ でなければなりません．
よって， $b=-5$ であることがわかります．
もちろん，展開後の $x$ の係数に着目しても $b$ を求めることができます．
展開後の $x$ の係数が $11$ となるためには， $6x-bx=11x$ でなければなりません．
よって， $b=-5$ であることがわかります．
展開後の $x$ の係数が $11$ となるためには， $6x-bx=11x$ でなければなりません．
よって， $b=-5$ であることがわかります．
したがって，
$\begin{eqnarray*}P(x)&=&x^3-6x^2+11x-6\\&=&(x-1)(x^2-5x+6)\\&=&(x-1)(x-2)(x-3)\end{eqnarray*}$
実際に計算するときは， $a,b,c$ というように係数を文字でおく必要はなく，暗算でできると思います．
例２ $P(x)=2x^3-4x^2-3x+6$を因数分解せよ．
$P(2)=16-16-6+6=0$ より， $P(x)$ は $x-2$ を因数にもつので，
$P(x)=(x-2)(ax^2+bx+c)$
という形に因数分解されることがわかります．
例１と同様に， $(x-2)(ax^2+bx+c)$ を展開したときに $2x^3-4x^2-3x+6$ となるように係数 $a,b,c$ を定めます．
まず， $a$ と $c$ を求めます．
展開後の $x^3$ の係数が $2$ となるためには， $a=2$ でなければならないことは明らかです．
また，展開後の定数項が $6$ となるためには， $c=-3$ でなければならないことも明らかです．
展開後の $x^3$ の係数が $2$ となるためには， $a=2$ でなければならないことは明らかです．
また，展開後の定数項が $6$ となるためには， $c=-3$ でなければならないことも明らかです．
よって，
$2x^3-4x^2-3x+6＝(x-2)(2x^2+bx-3)$
となります．
次に， $b$ を求めるために，展開後の $x^2$ の係数に着目します．
展開後の $x^2$ の係数が $-4$ となるためには， $bx^2-4x^2=-4x^2$ でなければなりません．
よって， $b=0$ であることがわかります．
展開後の $x^2$ の係数が $-4$ となるためには， $bx^2-4x^2=-4x^2$ でなければなりません．
よって， $b=0$ であることがわかります．
したがって，
$\begin{eqnarray*}P(x)&=&2x^3-4x^2-3x+6\\&=&(x-2)(2x^2-3)\end{eqnarray*}$
4次式の因数分解
例３ $P(x)=x^4-10x^3+35x^2-50x+24$を因数分解せよ．
$P(1)=1-10+35-50+24=0$ より， $P(x)$ は $x-1$ を因数にもつので，
$P(x)=(x-1)(ax^3+bx^2+cx+d)$
という形に因数分解されることがわかります．
これまでの例題と同様に， $(x-1)(ax^3+bx^2+cx+d)$ を展開したときに $x^4-10x^3+35x^2-50x+24$ となるように係数 $a,b,c,d$ を定めます．
まず， $a$ と $d$ を求めます．
展開後の $x^4$ の係数が $1$ となるためには， $a=1$ でなければならないことは明らかです．
また，展開後の定数項が $24$ となるためには， $d=-24$ でなければならないことも明らかです．
展開後の $x^4$ の係数が $1$ となるためには， $a=1$ でなければならないことは明らかです．
また，展開後の定数項が $24$ となるためには， $d=-24$ でなければならないことも明らかです．
よって，
$x^4-10x^3+35x^2-50x+24＝(x-1)(x^3+bx^2+cx-24)$
となります．
次に， $b$ を求めるために，展開後の $x^3$ の係数に着目します．
展開後の $x^3$ の係数が $-10$ となるためには， $bx^3-x^3=-10x^2$ でなければなりません．
よって， $b=-9$ であることがわかります．
展開後の $x^3$ の係数が $-10$ となるためには， $bx^3-x^3=-10x^2$ でなければなりません．
よって， $b=-9$ であることがわかります．
また， $c$ を求めるために，展開後の $x$ の係数に着目します．
展開後の $x$ の係数が $-50$ となるためには， $-24x-cx=-50x$ でなければなりません．
よって， $c=26$ であることがわかります．
展開後の $x$ の係数が $-50$ となるためには， $-24x-cx=-50x$ でなければなりません．
よって， $c=26$ であることがわかります．
したがって，
$\begin{eqnarray*}P(x)&=&x^4-10x^3+35x^2-50x+24\\&=&(x-1)(x^3-9x^2+26x-24)\end{eqnarray*}$
さらに， $Q(x)=x^3-9x^2+26x-24$ とおくと，
$Q(2)=8-36+52-24=0$ より， $Q(x)$ は $x-2$ を因数にもつので，
$Q(2)=8-36+52-24=0$ より， $Q(x)$ は $x-2$ を因数にもつので，
$Q(x)=(x-2)(ex^2+fx+g)$
という形に因数分解されることがわかります．
同様に， $(x-2)(ex^2+fx+g)$ を展開したときに $x^3-9x^2+26x-24$ となるように係数 $e,f,g$ を定めます．
まず， $e$ と $g$ を求めます．
展開後の $x^3$ の係数が $1$ となるためには， $e=1$ でなければならないことは明らかです．
また，展開後の定数項が $-24$ となるためには， $g=12$ でなければならないことも明らかです．
展開後の $x^3$ の係数が $1$ となるためには， $e=1$ でなければならないことは明らかです．
また，展開後の定数項が $-24$ となるためには， $g=12$ でなければならないことも明らかです．
よって，
$x^3-9x^2+26x-24＝(x-2)(x^2+fx+12)$
となります．
次に， $f$ を求めるために，展開後の $x^2$ の係数に着目します．
展開後の $x^2$ の係数が $-9$ となるためには， $fx^2-2x^2=-9x^2$ でなければなりません．
よって， $f=-7$ であることがわかります．
展開後の $x^2$ の係数が $-9$ となるためには， $fx^2-2x^2=-9x^2$ でなければなりません．
よって， $f=-7$ であることがわかります．
したがって，
$\begin{eqnarray*}P(x)&=&(x-1)(x^3-9x^2+26x-24)\\&=&(x-1)(x-2)(x^2-7x+12)\\&=&(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)\end{eqnarray*}$