組立除法を使わずに高次式を因数分解する方法|わかるようになる高校数学

組立除法や筆算は時間がかかる

$x^3+5x^2+11x-6$ のような３次以上の多項式を高次式といいます．高次式の因数分解は，高次方程式や高次不等式を解く際に行う計算です．

因数定理が使える場合，高次式を因数分解するためには，まず因数定理を用いて因数を一つ見つけた後，組立除法か多項式の筆算を用いるのが一般的です．
　
しかし，組立除法や多項式の筆算は複雑で時間がかかってしまいます．

この記事では，組立除法や筆算を使わずに，高次式を簡単に速く因数分解する方法を，例題を使って紹介します．

例題と解説

3次式の因数分解

例１　

$P(x)=x^3-6x^2+11x-6$ を因数分解せよ．

$P(1)=1-6+11-6=0$ より，

$P(x)$ は

$x-1$ を因数にもつので，

$P(x)=(x-1)(ax^2+bx+c)$

という形に因数分解されることがわかります．

ここで，係数

$a,b,c$ を求めるために，一般には組立除法または

$(x^3-6x^2+11x-6)\div(x-1)$ の筆算を行いますが，これらの手法を使わずに求めていきます．

求め方は単純で，

$(x-1)(ax^2+bx+c)$ を展開したときに

$x^3-6x^2+11x-6$ となるように係数

$a,b,c$ を定めるというものです．

まず，

$a$ と

$c$ はすぐに求めることができます．
展開後の

$x^3$ の係数が

$1$ となるためには，

$a=1$ でなければならないことは明らかです．
また，展開後の定数項が

$-6$ となるためには，

$c=6$ でなければならないことも明らかです．

よって，

$x^3-6x^2+11x-6＝(x-1)(x^2+bx+6)$

となります．

次に，

$b$ を求めるために，展開後の

$x^2$ の係数に着目します．
展開後の

$x^2$ の係数が

$-6$ となるためには，

$bx^2-x^2=-6x^2$ でなければなりません．
よって，

$b=-5$ であることがわかります．

もちろん，展開後の

$x$ の係数に着目しても

$b$ を求めることができます．
展開後の

$x$ の係数が

$11$ となるためには，

$6x-bx=11x$ でなければなりません．
よって，

$b=-5$ であることがわかります．

したがって，

$\begin{eqnarray*}P(x)&=&x^3-6x^2+11x-6\\&=&(x-1)(x^2-5x+6)\\&=&(x-1)(x-2)(x-3)\end{eqnarray*}$

実際に計算するときは，

$a,b,c$ というように係数を文字でおく必要はなく，暗算でできると思います．

例２　

$P(x)=2x^3-4x^2-3x+6$ を因数分解せよ．

$P(2)=16-16-6+6=0$ より，

$P(x)$ は

$x-2$ を因数にもつので，

$P(x)=(x-2)(ax^2+bx+c)$

という形に因数分解されることがわかります．

例１と同様に，

$(x-2)(ax^2+bx+c)$ を展開したときに

$2x^3-4x^2-3x+6$ となるように係数

$a,b,c$ を定めます．

まず，

$a$ と

$c$ を求めます．
展開後の

$x^3$ の係数が

$2$ となるためには，

$a=2$ でなければならないことは明らかです．
また，展開後の定数項が

$6$ となるためには，

$c=-3$ でなければならないことも明らかです．

よって，

$2x^3-4x^2-3x+6＝(x-2)(2x^2+bx-3)$

となります．

次に，

$b$ を求めるために，展開後の

$x^2$ の係数に着目します．
展開後の

$x^2$ の係数が

$-4$ となるためには，

$bx^2-4x^2=-4x^2$ でなければなりません．
よって，

$b=0$ であることがわかります．

したがって，

$\begin{eqnarray*}P(x)&=&2x^3-4x^2-3x+6\\&=&(x-2)(2x^2-3)\end{eqnarray*}$

4次式の因数分解

例３　

$P(x)=x^4-10x^3+35x^2-50x+24$ を因数分解せよ．

$P(1)=1-10+35-50+24=0$ より，

$P(x)$ は

$x-1$ を因数にもつので，

$P(x)=(x-1)(ax^3+bx^2+cx+d)$

という形に因数分解されることがわかります．

これまでの例題と同様に，

$(x-1)(ax^3+bx^2+cx+d)$ を展開したときに

$x^4-10x^3+35x^2-50x+24$ となるように係数

$a,b,c,d$ を定めます．

まず，

$a$ と

$d$ を求めます．
展開後の

$x^4$ の係数が

$1$ となるためには，

$a=1$ でなければならないことは明らかです．
また，展開後の定数項が

$24$ となるためには，

$d=-24$ でなければならないことも明らかです．

よって，

$x^4-10x^3+35x^2-50x+24＝(x-1)(x^3+bx^2+cx-24)$

となります．

次に，

$b$ を求めるために，展開後の

$x^3$ の係数に着目します．
展開後の

$x^3$ の係数が

$-10$ となるためには，

$bx^3-x^3=-10x^2$ でなければなりません．
よって，

$b=-9$ であることがわかります．

また，

$c$ を求めるために，展開後の

$x$ の係数に着目します．
展開後の

$x$ の係数が

$-50$ となるためには，

$-24x-cx=-50x$ でなければなりません．
よって，

$c=26$ であることがわかります．

したがって，

$\begin{eqnarray*}P(x)&=&x^4-10x^3+35x^2-50x+24\\&=&(x-1)(x^3-9x^2+26x-24)\end{eqnarray*}$

さらに，

$Q(x)=x^3-9x^2+26x-24$ とおくと，

$Q(2)=8-36+52-24=0$ より，

$Q(x)$ は

$x-2$ を因数にもつので，

$Q(x)=(x-2)(ex^2+fx+g)$

という形に因数分解されることがわかります．

同様に，

$(x-2)(ex^2+fx+g)$ を展開したときに

$x^3-9x^2+26x-24$ となるように係数

$e,f,g$ を定めます．

まず，

$e$ と

$g$ を求めます．
展開後の

$x^3$ の係数が

$1$ となるためには，

$e=1$ でなければならないことは明らかです．
また，展開後の定数項が

$-24$ となるためには，

$g=12$ でなければならないことも明らかです．

よって，

$x^3-9x^2+26x-24＝(x-2)(x^2+fx+12)$

となります．

次に，

$f$ を求めるために，展開後の

$x^2$ の係数に着目します．
展開後の

$x^2$ の係数が

$-9$ となるためには，

$fx^2-2x^2=-9x^2$ でなければなりません．
よって，

$f=-7$ であることがわかります．

したがって，

$\begin{eqnarray*}P(x)&=&(x-1)(x^3-9x^2+26x-24)\\&=&(x-1)(x-2)(x^2-7x+12)\\&=&(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)\end{eqnarray*}$