$a_{n+1}=2\sqrt{a_{n}}$のように，根号（ルート）が付いている漸化式は，工夫して解く必要があります．
漸化式に根号が付いている場合，対数の性質を利用することで計算が可能になるものがあります．ここでは，その例を紹介します．
対数の性質を利用した漸化式の解き方を解説
例１ $a_{1}=2,a_{n+1}=2\sqrt{a_{n}}$
で定義される数列$\{a_{n}\}$の一般項を求めよ．
で定義される数列$\{a_{n}\}$の一般項を求めよ．
任意の自然数$n$について，漸化式の両辺が正であることは明らかなので，
$2$を底とする対数をとると，
$\log_{2}a_{n+1}=\log_{2}2\sqrt{a_{n}}$
対数の性質より，
$\log_{2}a_{n+1}=\log_{2}2+\log_{2}\sqrt{a_{n}}$
$\log_{2}a_{n+1}=1+\log_{2}{a_{n}}^\frac{1}{2}\\ \log_{2}a_{n+1}=1+\frac{1}{2}\log_{2}a_{n}$
わかりやすくするために，$b_{n}=\log_{2}a_{n}$とおくと，（$b_{n+1}=\log_{2}a_{n+1}$）
$b_{n+1}=1+\frac{1}{2}b_{n}$
$b_{n+1}-2=\frac{1}{2}(b_{n}-2)$
（これで，よく見る漸化式の形になりました．）
数列$\{b_{n}-2\}$は，初項$b_{1}-2=\log_{2}a_{1}-2=\log_{2}2-2=-1$，公比$\frac{1}{2}$の等比数列であるので，
$b_{n}-2=-(\frac{1}{2})^{n-1}\\ b_{n}=2-(\frac{1}{2})^{n-1}$
$b_{n}=\log_{2}a_{n}$であるので，
$\log_{2}a_{n}=2-(\frac{1}{2})^{n-1}\\ a_{n}=2^{2-(\frac{1}{2})^{n-1}}$
例２ $a_{1}=3,a_{n+1}a_{n}=3\sqrt{a_{n}}$
で定義される数列$\{a_{n}\}$の一般項を求めよ．
で定義される数列$\{a_{n}\}$の一般項を求めよ．
任意の自然数$n$について，漸化式の両辺が正であることは明らかなので，
$3$を底とする対数をとると，
$\log_{3}a_{n+1}a_{n}=\log_{3}3\sqrt{a_{n}}$
対数の性質より，
$\log_{3}a_{n+1}+\log_{3}a_{n}=\log_{3}3+\log_{3}\sqrt{a_{n}}$
$\log_{3}a_{n+1}+\log_{3}a_{n}=1+\log_{3}{a_{n}}^\frac{1}{2}\\ \log_{3}a_{n+1}+\log_{3}a_{n}=1+\frac{1}{2}\log_{3}a_{n}\\ \log_{3}a_{n+1}=1-\frac{1}{2}\log_{3}a_{n}$
（このように，$a_{n+1}a_{n}$という積の形に対しても，対数の性質が役立ちます．）
$b_{n}=\log_{3}a_{n}$とおくと，（$b_{n+1}=\log_{3}a_{n+1}$）
$b_{n+1}=1-\frac{1}{2}b_{n}$
$b_{n+1}-\frac{2}{3}=-\frac{1}{2}(b_{n}-\frac{2}{3})$
数列$\{b_{n}-\frac{2}{3}\}$は，初項$b_{1}-\frac{2}{3}=\log_{3}a_{1}-\frac{2}{3}=\log_{3}3-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$， 公比$-\frac{1}{2}$の等比数列であるので，
$b_{n}-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}\cdot(-\frac{1}{2})^{n-1}\\ b_{n}=\frac{1}{3}\cdot(-\frac{1}{2})^{n-1}+\frac{2}{3}$
$b_{n}=\log_{3}a_{n}$であるので，
$\log_{3}a_{n}=\frac{1}{3}\cdot(-\frac{1}{2})^{n-1}+\frac{2}{3}\\ a_{n}=3^{\frac{1}{3}\cdot(-\frac{1}{2})^{n-1}+\frac{2}{3}}$