a_{n+1}=2\sqrt{a_{n}}のように，根号（ルート）が付いている漸化式は，工夫して解く必要があります．
漸化式に根号が付いている場合，対数の性質を利用することで計算が可能になるものがあります．ここでは，その例を紹介します．
対数の性質を利用した漸化式の解き方を解説
例１ a_{1}=2,a_{n+1}=2\sqrt{a_{n}}
で定義される数列\{a_{n}\}の一般項を求めよ．
で定義される数列\{a_{n}\}の一般項を求めよ．
任意の自然数nについて，漸化式の両辺が正であることは明らかなので，
2を底とする対数をとると，
\log_{2}a_{n+1}=\log_{2}2\sqrt{a_{n}}
対数の性質より，
\log_{2}a_{n+1}=\log_{2}2+\log_{2}\sqrt{a_{n}}
\log_{2}a_{n+1}=1+\log_{2}{a_{n}}^\frac{1}{2}\\ \log_{2}a_{n+1}=1+\frac{1}{2}\log_{2}a_{n}
わかりやすくするために，b_{n}=\log_{2}a_{n}とおくと，（b_{n+1}=\log_{2}a_{n+1}）
b_{n+1}=1+\frac{1}{2}b_{n}
b_{n+1}-2=\frac{1}{2}(b_{n}-2)
（これで，よく見る漸化式の形になりました．）
数列\{b_{n}-2\}は，初項b_{1}-2=\log_{2}a_{1}-2=\log_{2}2-2=-1，公比\frac{1}{2}の等比数列であるので，
b_{n}-2=-(\frac{1}{2})^{n-1}\\ b_{n}=2-(\frac{1}{2})^{n-1}
b_{n}=\log_{2}a_{n}であるので，
\log_{2}a_{n}=2-(\frac{1}{2})^{n-1}\\ a_{n}=2^{2-(\frac{1}{2})^{n-1}}
例２ a_{1}=3,a_{n+1}a_{n}=3\sqrt{a_{n}}
で定義される数列\{a_{n}\}の一般項を求めよ．
で定義される数列\{a_{n}\}の一般項を求めよ．
任意の自然数nについて，漸化式の両辺が正であることは明らかなので，
3を底とする対数をとると，
\log_{3}a_{n+1}a_{n}=\log_{3}3\sqrt{a_{n}}
対数の性質より，
\log_{3}a_{n+1}+\log_{3}a_{n}=\log_{3}3+\log_{3}\sqrt{a_{n}}
\log_{3}a_{n+1}+\log_{3}a_{n}=1+\log_{3}{a_{n}}^\frac{1}{2}\\ \log_{3}a_{n+1}+\log_{3}a_{n}=1+\frac{1}{2}\log_{3}a_{n}\\ \log_{3}a_{n+1}=1-\frac{1}{2}\log_{3}a_{n}
（このように，a_{n+1}a_{n}という積の形に対しても，対数の性質が役立ちます．）
b_{n}=\log_{3}a_{n}とおくと，（b_{n+1}=\log_{3}a_{n+1}）
b_{n+1}=1-\frac{1}{2}b_{n}
b_{n+1}-\frac{2}{3}=-\frac{1}{2}(b_{n}-\frac{2}{3})
数列\{b_{n}-\frac{2}{3}\}は，初項b_{1}-\frac{2}{3}=\log_{3}a_{1}-\frac{2}{3}=\log_{3}3-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}， 公比-\frac{1}{2}の等比数列であるので，
b_{n}-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}\cdot(-\frac{1}{2})^{n-1}\\ b_{n}=\frac{1}{3}\cdot(-\frac{1}{2})^{n-1}+\frac{2}{3}
b_{n}=\log_{3}a_{n}であるので，
\log_{3}a_{n}=\frac{1}{3}\cdot(-\frac{1}{2})^{n-1}+\frac{2}{3}\\ a_{n}=3^{\frac{1}{3}\cdot(-\frac{1}{2})^{n-1}+\frac{2}{3}}