平方根のおよその値の求め方とその利用

　平方根（ルート）は，例えば「$\sqrt{2}$は$2$乗して$2$になる数だから$1.4$くらい」といった，およその値（近似値）を考えることができます．

　ここでは，平方根のおよその値の求め方を解説し，その利用例を紹介します．

整数部分と小数部分の求め方

まず，以下のように平方根が整数になる数を把握する必要があります．

$\begin{eqnarray*} \sqrt{1}&=&1\\ \sqrt{4}&=&2\\ \sqrt{9}&=&3\\ \sqrt{16}&=&4\\ \sqrt{25}&=&5\\ \sqrt{36}&=&6\\ &\vdots& \end{eqnarray*}$



例えば，

$\sqrt{13}$は，不等式で表現すると，

$\sqrt{9}\lt\sqrt{13}\lt\sqrt{16}\\ 3\lt\sqrt{13}\lt4$

と書けます．

$\sqrt{13}$は$3$より大きく$4$より小さい数ということなので，

$\sqrt{13}=3.\cdots$

となります．つまり，$\sqrt{13}$の整数部分は$3$ということです．

また，$\sqrt{13}=3.\cdots$の小数部分$0.\cdots$は，
$\sqrt{13}$から，整数部分である$3$を引けばよいので，

$\sqrt{13}-3$と表されます．

例題と解説

例１　$\frac{1}{3-\sqrt{5}}$の整数部分を$a$，小数部分を$b$とするとき，$a$，$b$の値をそれぞれ求めよ．

まず，$\frac{1}{3-\sqrt{5}}$の分母を有理化します．

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3-\sqrt{5}}&=&\frac{3+\sqrt{5}}{(3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5})}\\ &=&\frac{3+\sqrt{5}}{4} \end{eqnarray*}$


先に，$\frac{3+\sqrt{5}}{4}$の整数部分$a$を求めます．

$\sqrt{4}\lt\sqrt{5}\lt\sqrt{9}\\ 2\lt\sqrt{5}\lt3$

各辺に$3$を加えて，

$5\lt3+\sqrt{5}\lt6$

各辺を$4$で割って，

$\frac{5}{4}\lt\frac{3+\sqrt{5}}{4}\lt\frac{3}{2}\\ 1.25\lt\frac{3+\sqrt{5}}{4}\lt1.5$

$1.25$より大きく$1.5$より小さいということは，$\frac{3+\sqrt{5}}{4}=1.\cdots$となり，整数部分$a$は，

$a=1$


次に，小数部分$b$を求めます．

$\frac{3+\sqrt{5}}{4}=1.\cdots$の小数部分$0.\cdots$は，
$\frac{3+\sqrt{5}}{4}$から，整数部分である$1$を引けばよいので，

$\begin{eqnarray*} b&=&\frac{3+\sqrt{5}}{4}-1\\ &=&\frac{\sqrt{5}-1}{4} \end{eqnarray*}$

例２　$3\lt x\lt 5+3\sqrt{7}$を満たす整数$x$をすべて求めよ．

この問題を解くには，$5+3\sqrt{7}$のおよその値を求めておく必要があります．

$3\sqrt{7}=\sqrt{63}$（正確な整数部分を求めるために，この変形は必須です．）

$\sqrt{49}\lt \sqrt{63}\lt \sqrt{64}\\ 7\lt \sqrt{63}\lt 8\\ 12\lt 5+\sqrt{63}\lt 13$

よって，$5+3\sqrt{7}=12.\cdots$となります．

$3\lt x\lt 12.\cdots$より，
$x$は，$3$より大きく$12.\cdots$より小さい整数なので，

$x=4,5,6,7,8,9,10,11,12$（$12$を含み，$3$を含まないのが重要です．）