平方根（ルート）は，例えば「$\sqrt{2}$は$2$乗して$2$になる数だから$1.4$くらい」といった，およその値（近似値）を考えることができます．
ここでは，平方根のおよその値の求め方を解説し，その利用例を紹介します．
整数部分と小数部分の求め方
まず，以下のように平方根が整数になる数を把握する必要があります．
$\begin{eqnarray*} \sqrt{1}&=&1\\ \sqrt{4}&=&2\\ \sqrt{9}&=&3\\ \sqrt{16}&=&4\\ \sqrt{25}&=&5\\ \sqrt{36}&=&6\\ &\vdots& \end{eqnarray*}$
例えば，
$\sqrt{13}$は，不等式で表現すると，
$\sqrt{9}\lt\sqrt{13}\lt\sqrt{16}\\ 3\lt\sqrt{13}\lt4$
と書けます．
$\sqrt{13}$は$3$より大きく$4$より小さい数ということなので，
$\sqrt{13}=3.\cdots$
となります．つまり，$\sqrt{13}$の整数部分は$3$ということです．
また，$\sqrt{13}=3.\cdots$の小数部分$0.\cdots$は，
$\sqrt{13}$から，整数部分である$3$を引けばよいので，
$\sqrt{13}-3$と表されます．
例題と解説
例１ $\frac{1}{3-\sqrt{5}}$の整数部分を$a$，小数部分を$b$とするとき，$a$，$b$の値をそれぞれ求めよ．
まず，$\frac{1}{3-\sqrt{5}}$の分母を有理化します．
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3-\sqrt{5}}&=&\frac{3+\sqrt{5}}{(3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5})}\\ &=&\frac{3+\sqrt{5}}{4} \end{eqnarray*}$
先に，$\frac{3+\sqrt{5}}{4}$の整数部分$a$を求めます．
$\sqrt{4}\lt\sqrt{5}\lt\sqrt{9}\\ 2\lt\sqrt{5}\lt3$
各辺に$3$を加えて，
$5\lt3+\sqrt{5}\lt6$
各辺を$4$で割って，
$\frac{5}{4}\lt\frac{3+\sqrt{5}}{4}\lt\frac{3}{2}\\ 1.25\lt\frac{3+\sqrt{5}}{4}\lt1.5$
$1.25$より大きく$1.5$より小さいということは，$\frac{3+\sqrt{5}}{4}=1.\cdots$となり，整数部分$a$は，
$a=1$
次に，小数部分$b$を求めます．
$\frac{3+\sqrt{5}}{4}=1.\cdots$の小数部分$0.\cdots$は，
$\frac{3+\sqrt{5}}{4}$から，整数部分である$1$を引けばよいので，
$\begin{eqnarray*} b&=&\frac{3+\sqrt{5}}{4}-1\\ &=&\frac{\sqrt{5}-1}{4} \end{eqnarray*}$
例２ $3\lt x\lt 5+3\sqrt{7}$を満たす整数$x$をすべて求めよ．
この問題を解くには，$5+3\sqrt{7}$のおよその値を求めておく必要があります．
$3\sqrt{7}=\sqrt{63}$（正確な整数部分を求めるために，この変形は必須です．）
$\sqrt{49}\lt \sqrt{63}\lt \sqrt{64}\\ 7\lt \sqrt{63}\lt 8\\ 12\lt 5+\sqrt{63}\lt 13$
よって，$5+3\sqrt{7}=12.\cdots$となります．
$3\lt x\lt 12.\cdots$より，
$x$は，$3$より大きく$12.\cdots$より小さい整数なので，
$x=4,5,6,7,8,9,10,11,12$（$12$を含み，$3$を含まないのが重要です．）