三角関数の合成を加法定理で考える

　三角関数の合成は，三角関数を含む式を変形する手法の一つで，関数の最大値・最小値を求めるときや方程式・不等式を解くときによく利用します．

　三角関数を合成するときは，座標平面上に座標をとって考えるのが一般的で簡単ですが，加法定理を利用して合成することもできます．

　ここでは，三角関数の合成を，加法定理を利用して行う方法を紹介します．加法定理による合成では，$\sin$に合成するだけでなく，$\cos$に合成することもできます．

三角関数の合成の公式

$\small{a\sin \theta + b\cos \theta = \sqrt{a^{2}+b^{2}}\sin (\theta + \alpha)}$

ただし　$\small{\cos \alpha = \frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}}$，$\small{\sin \alpha = \frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}}$

$a\sin \theta + b\cos \theta$の形で表された式のこのような変形を，三角関数の合成といいます．

三角関数の加法定理

$\sin (\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$
$\sin (\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$
$\cos (\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$
$\cos (\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$

これが，三角関数の加法定理です．
（$\tan$の加法定理は今回は不要なので省いています．）

加法定理を利用した三角関数の合成

例１　$\sin \theta + \cos \theta$

$\sin \theta$の係数が$1$で，$\cos \theta$の係数も$1$であるので，
$\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$

まず，$\sin$に合成してみます．

$\sin$の加法定理
$\sin (\alpha + \beta) = \sin \alpha \style{color: blue;}{\cos \beta} + \cos \alpha \style{color: blue;}{\sin \beta}$
を考えながら，以下のように変形します．

$\small{\begin{eqnarray*} \sin \theta + \cos \theta &=& \style{color: green;}{\sqrt{2}}(\sin \theta \cdot \style{color: blue;}{\frac{1}{\sqrt{2}}} + \cos \theta \cdot \style{color: blue;}{\frac{1}{\sqrt{2}}})\\ &=& \sqrt{2}(\sin \theta \style{color: blue;}{\cos \frac{\pi}{4}} + \cos \theta \style{color: blue;}{\sin \frac{\pi}{4}})\\ &=& \style{color: red;}{\sqrt{2} \sin (\theta + \frac{\pi}{4})} \end{eqnarray*}}$


次に，$\cos$に合成してみます．

$\cos$の加法定理
$\cos (\alpha - \beta) = \cos \alpha \style{color: blue;}{\cos \beta} + \sin \alpha \style{color: blue;}{\sin \beta}$
を考えながら，以下のように変形します．

$\small{\begin{eqnarray*} \cos \theta + \sin \theta &=& \style{color: green;}{\sqrt{2}}(\cos \theta \cdot \style{color: blue;}{\frac{1}{\sqrt{2}}} + \sin \theta \cdot \style{color: blue;}{\frac{1}{\sqrt{2}}})\\ &=& \sqrt{2}(\cos \theta \style{color: blue;}{\cos \frac{\pi}{4}} + \sin \theta \style{color: blue;}{\sin \frac{\pi}{4}})\\ &=& \style{color: red;}{\sqrt{2} \cos (\theta - \frac{\pi}{4})} \end{eqnarray*}}$

例２　$\sin \theta + \sqrt{3} \cos \theta$

$\sin \theta$の係数が$1$で，$\cos \theta$の係数が$\sqrt{3}$であるので，
$\sqrt{1^{2}+(\sqrt{3})^{2}}=2$

まず，$\sin$に合成してみます．

$\sin$の加法定理
$\sin (\alpha + \beta) = \sin \alpha \style{color: blue;}{\cos \beta} + \cos \alpha \style{color: blue;}{\sin \beta}$
を考えながら，以下のように変形します．

$\small{\begin{eqnarray*} \sin \theta + \sqrt{3} \cos \theta &=& \style{color: green;}{2}(\sin \theta \cdot \style{color: blue;}{\frac{1}{2}} + \cos \theta \cdot \style{color: blue;}{\frac{\sqrt{3}}{2}})\\ &=& 2(\sin \theta \style{color: blue;}{\cos \frac{\pi}{3}} + \cos \theta \style{color: blue;}{\sin \frac{\pi}{3}})\\ &=& \style{color: red;}{2 \sin (\theta + \frac{\pi}{3})} \end{eqnarray*}}$


次に，$\cos$に合成してみます．

$\cos$の加法定理
$\cos (\alpha - \beta) = \cos \alpha \style{color: blue;}{\cos \beta} + \sin \alpha \style{color: blue;}{\sin \beta}$
を考えながら，以下のように変形します．

$\small{\begin{eqnarray*} \sqrt{3} \cos \theta + \sin \theta &=& \style{color: green;}{2}(\cos \theta \cdot \style{color: blue;}{\frac{\sqrt{3}}{2}} + \sin \theta \cdot \style{color: blue;}{\frac{1}{2}})\\ &=& 2(\cos \theta \style{color: blue;}{\cos \frac{\pi}{6}} + \sin \theta \style{color: blue;}{\sin \frac{\pi}{6}})\\ &=& \style{color: red;}{2 \cos (\theta - \frac{\pi}{6})} \end{eqnarray*}}$

例３　$\sqrt{3} \sin \theta + \cos \theta$

$\sin \theta$の係数が$\sqrt{3}$で，$\cos \theta$の係数が$1$であるので，
$\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+1^{2}}=2$

まず，$\sin$に合成してみます．

$\sin$の加法定理
$\sin (\alpha + \beta) = \sin \alpha \style{color: blue;}{\cos \beta} + \cos \alpha \style{color: blue;}{\sin \beta}$
を考えながら，以下のように変形します．

$\small{\begin{eqnarray*} \sqrt{3} \sin \theta + \cos \theta &=& \style{color: green;}{2}(\sin \theta \cdot \style{color: blue;}{\frac{\sqrt{3}}{2}} + \cos \theta \cdot \style{color: blue;}{\frac{1}{2}})\\ &=& 2(\sin \theta \style{color: blue;}{\cos \frac{\pi}{6}} + \cos \theta \style{color: blue;}{\sin \frac{\pi}{6}})\\ &=& \style{color: red;}{2 \sin (\theta + \frac{\pi}{6})} \end{eqnarray*}}$


次に，$\cos$に合成してみます．

$\cos$の加法定理
$\cos (\alpha - \beta) = \cos \alpha \style{color: blue;}{\cos \beta} + \sin \alpha \style{color: blue;}{\sin \beta}$
を考えながら，以下のように変形します．

$\small{\begin{eqnarray*} \cos \theta + \sqrt{3} \sin \theta &=& \style{color: green;}{2}(\cos \theta \cdot \style{color: blue;}{\frac{1}{2}} + \sin \theta \cdot \style{color: blue;}{\frac{\sqrt{3}}{2}})\\ &=& 2(\cos \theta \style{color: blue;}{\cos \frac{\pi}{3}} + \sin \theta \style{color: blue;}{\sin \frac{\pi}{3}})\\ &=& \style{color: red;}{2 \cos (\theta - \frac{\pi}{3})} \end{eqnarray*}}$

例４　$\sqrt{3} \sin \theta - \cos \theta$

$\sin \theta$の係数が$\sqrt{3}$で，$\cos \theta$の係数が$-1$であるので，
$\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+(-1)^{2}}=2$

まず，$\sin$に合成してみます．

$\sin$の加法定理
$\sin (\alpha + \beta) = \sin \alpha \style{color: blue;}{\cos \beta} + \cos \alpha \style{color: blue;}{\sin \beta}$
を考えながら，以下のように変形します．

$\scriptsize{\begin{eqnarray*} \sqrt{3} \sin \theta - \cos \theta &=& \style{color: green;}{2}\{\sin \theta \cdot \style{color: blue;}{\frac{\sqrt{3}}{2}} + \cos \theta \cdot (\style{color: blue;}{-\frac{1}{2}})\}\\ &=& 2\{\sin \theta \style{color: blue;}{\cos (-\frac{\pi}{6})} + \cos \theta \style{color: blue;}{\sin (-\frac{\pi}{6})}\}\\ &=& \style{color: red;}{2 \sin (\theta - \frac{\pi}{6})} \end{eqnarray*}}$


次に，$\cos$に合成してみます．

$\cos$の加法定理
$\cos (\alpha - \beta) = \cos \alpha \style{color: blue;}{\cos \beta} + \sin \alpha \style{color: blue;}{\sin \beta}$
を考えながら，以下のように変形します．

$\scriptsize{\begin{eqnarray*} -\cos \theta + \sqrt{3} \sin \theta &=& \style{color: green;}{2}\{\cos \theta \cdot (\style{color: blue;}{-\frac{1}{2}}) + \sin \theta \cdot \style{color: blue;}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\}\\ &=& 2(\cos \theta \style{color: blue;}{\cos \frac{2}{3}\pi} + \sin \theta \style{color: blue;}{\sin \frac{2}{3}\pi})\\ &=& \style{color: red;}{2 \cos (\theta - \frac{2}{3}\pi)} \end{eqnarray*}}$

例５　$-\sqrt{3} \sin \theta + 3\cos \theta$

$\sin \theta$の係数が$-\sqrt{3}$で，$\cos \theta$の係数が$3$であるので，
$\sqrt{(-\sqrt{3})^{2}+3^{2}}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$

まず，$\sin$に合成してみます．

$\sin$の加法定理
$\sin (\alpha + \beta) = \sin \alpha \style{color: blue;}{\cos \beta} + \cos \alpha \style{color: blue;}{\sin \beta}$
を考えながら，以下のように変形します．

$\scriptsize{\begin{eqnarray*} -\sqrt{3} \sin \theta + 3\cos \theta &=& \style{color: green;}{2\sqrt{3}}\{\sin \theta \cdot (\style{color: blue;}{-\frac{1}{2}}) + \cos \theta \cdot \style{color: blue;}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\}\\ &=& 2\sqrt{3}(\sin \theta \style{color: blue;}{\cos \frac{2}{3}\pi} + \cos \theta \style{color: blue;}{\sin \frac{2}{3}\pi})\\ &=& \style{color: red;}{2\sqrt{3} \sin (\theta + \frac{2}{3}\pi)} \end{eqnarray*}}$


次に，$\cos$に合成してみます．

$\cos$の加法定理
$\cos (\alpha - \beta) = \cos \alpha \style{color: blue;}{\cos \beta} + \sin \alpha \style{color: blue;}{\sin \beta}$
を考えながら，以下のように変形します．

$\scriptsize{\begin{eqnarray*} 3\cos \theta - \sqrt{3} \sin \theta &=& \style{color: green;}{2\sqrt{3}}\{\cos \theta \cdot \style{color: blue;}{\frac{\sqrt{3}}{2}} + \sin \theta \cdot (\style{color: blue;}{-\frac{1}{2}})\}\\ &=& 2\sqrt{3}\{\cos \theta \style{color: blue;}{\cos (-\frac{\pi}{6})} + \sin \theta \style{color: blue;}{\sin (-\frac{\pi}{6})}\}\\ &=& \style{color: red;}{2\sqrt{3} \cos (\theta + \frac{\pi}{6})} \end{eqnarray*}}$

例６　$3\sin \theta + 4\cos \theta$

$\sin \theta$の係数が$3$で，$\cos \theta$の係数が$4$であるので，
$\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$

まず，$\sin$に合成してみます．

$\sin$の加法定理
$\sin (\alpha + \beta) = \sin \alpha \style{color: blue;}{\cos \beta} + \cos \alpha \style{color: blue;}{\sin \beta}$
を考えながら，以下のように変形します．

$\small{\begin{eqnarray*} 3\sin \theta + 4\cos \theta &=& \style{color: green;}{5}(\sin \theta \cdot \style{color: blue;}{\frac{3}{5}} + \cos \theta \cdot \style{color: blue;}{\frac{4}{5}})\\ &=& 5(\sin \theta \style{color: blue;}{\cos \alpha} + \cos \theta \style{color: blue;}{\sin \alpha})\\ &=& \style{color: red;}{5 \sin (\theta + \alpha)} \end{eqnarray*}}$
ただし，$\cos \alpha = \frac{3}{5}$，$\sin \alpha = \frac{4}{5}$


次に，$\cos$に合成してみます．

$\cos$の加法定理
$\cos (\alpha - \beta) = \cos \alpha \style{color: blue;}{\cos \beta} + \sin \alpha \style{color: blue;}{\sin \beta}$
を考えながら，以下のように変形します．

$\small{\begin{eqnarray*} 4\cos \theta + 3\sin \theta &=& \style{color: green;}{5}(\cos \theta \cdot \style{color: blue;}{\frac{4}{5}} + \sin \theta \cdot \style{color: blue;}{\frac{3}{5}})\\ &=& 5(\cos \theta \style{color: blue;}{\cos \beta} + \sin \theta \style{color: blue;}{\sin \beta})\\ &=& \style{color: red;}{5 \cos (\theta - \beta)} \end{eqnarray*}}$
ただし，$\cos \beta = \frac{4}{5}$，$\sin \beta = \frac{3}{5}$