対数関数を含む不等式の解き方

　対数関数を含む不等式は，対数の性質や底の変換公式を利用して解きます．また，解を求める際に，真数条件や底の条件を確認する必要があります．

　方程式と違い，不等式を解くときは，底の大きさが$1$より大きいか小さいかで計算が異なるので，注意が必要です．

　ここでは，いろいろな対数関数を含む不等式の解き方を解説します．

対数（log）の性質と底の変換公式

対数の性質
$M \gt 0$，$N \gt 0$で，$k$を実数とする．

$1$　$\log_{a}MN = \log_{a}M + \log_{a}N$

$2$　$\log_{a}\frac{M}{N} = \log_{a}M - \log_{a}N$

$3$　$\log_{a}M^k = k\log_{a}M$

$4$　$\log_{a}1 = 0$，　$\log_{a}a=1$

対数の計算で特に間違えやすいのが，

$\log_{a}M + \log_{a}N = \log_{a}(M+N)$

としてしまうことです．

このように，$\log_{a}$でくくるというような計算はできません．

底の変換公式
$a$，$b$，$c$は正の数で，$a\neq 1$，$c\neq 1$とするとき

$\log_{a}b = \frac{\log_{c}b}{\log_{c}a}$

底の変換公式を使えば，対数を，任意の底を使って表現することができます．

真数条件と底の条件

対数 $\log_{a}M$ について

真数条件
$M \gt 0$

底の条件
$a \gt 0$，$a \neq 1$
（もしくは$0 \lt a \lt 1$，$1 \lt a$）

真数条件は，真数は正とするというものです．


底の条件は，底は$1$以外の正の数とするというものです．

$0 \lt a \lt 1$，$1 \lt a$

この形のほうが，不等式の計算がしやすいと思います．

例題と計算方法の解説

次の不等式を解け．
$(1)$ $\log_{2}{x} \leqq 3$

$(2)$ $\log_{\frac{1}{3}}x \gt 2$

$(3)$ $\log_{\frac{1}{2}}(x-1) \gt \log_{2}(x+1)$

$(4)$ $(\log_{\frac{1}{2}}x)^2 - \log_{\frac{1}{2}}x - 2 \gt 0$

$(5)$ $\log_{a}(x-1) \gt \log_{a}(3x+5)$

$(1)$ $\log_{2}{x} \leqq 3$

真数条件より，

$x \gt 0 \quad \cdots ①$


右辺の $3$ を，左辺と同様の $2$ を底とする対数 $\log_{2}2^3$ にして解きます．

$\log_{2}{x} \leqq \log_{2}2^3\\ x \leqq 2^3\\ x \leqq 8 \quad \cdots ②$

（底 $2$ が $1$ より大きいので，不等号の向きは変わりません．）


①，②より，

$0 \lt x \leqq 8$

$(2)$ $\log_{\frac{1}{3}}x \gt 2$

真数条件より，

$x \gt 0 \quad \cdots ①$


右辺の $2$ を，左辺と同様の $\frac{1}{3}$ を底とする対数 $\log_{\frac{1}{3}}(\frac{1}{3})^2$ にして解きます．

$\log_{\frac{1}{3}}x \gt \log_{\frac{1}{3}}(\frac{1}{3})^2\\ x \style{color: red;}{\lt} (\frac{1}{3})^2\\ x \lt \frac{1}{9} \quad \cdots ②$

（底 $\frac{1}{3}$ が $1$ より小さいので，不等号の向きが変わります．）


①，②より，

$0 \lt x \lt \frac{1}{9}$

$(3)$ $\log_{\frac{1}{2}}(x-1) \gt \log_{2}(x+1)$

真数条件より，

$x-1 \gt 0$ かつ $x+1 \gt 0$
$x \gt 1$ かつ $x \gt -1$

すなわち，

$x \gt 1 \quad \cdots ①$


左辺の $\log_{\frac{1}{2}}(x-1)$ に底の変換公式を適用して，右辺と同様の $2$ を底とする対数にします．

$\frac{\log_{\style{color: red;}{2}}(x-1)}{\log_{\style{color: red;}{2}}\frac{1}{2}} \gt \log_{\style{color: red;}{2}}(x+1)\\ \frac{\log_{2}(x-1)}{\log_{2}2^{-1}} \gt \log_{2}(x+1)\\ -\log_{2}(x-1) \gt \log_{2}(x+1)\\ \log_{2}(x+1) + \log_{2}(x-1) \lt 0$

左辺に，対数の性質

$\log_{a}MN = \log_{a}M + \log_{a}N$

を使うと，

$\log_{2}(x+1)(x-1) \lt 0\\ \log_{2}(x+1)(x-1) \lt \log_{2}1\\ (x+1)(x-1) \lt 1$

（底 $2$ が $1$ より大きいので，不等号の向きは変わりません．）

$x^2 - 1 \lt 1\\ x^2 - 2 \lt 0\\ (x + \sqrt{2})(x - \sqrt{2}) \lt 0\\ -\sqrt{2} \lt x \lt \sqrt{2} \quad \cdots ②$


①，②より，

$1 \lt x \lt \sqrt{2}$

$(4)$ $(\log_{\frac{1}{2}}x)^2 - \log_{\frac{1}{2}}x - 2 \gt 0$

真数条件より，

$x \gt 0 \quad \cdots ①$


この不等式は， $\log_{\frac{1}{2}}x$ に関する2次不等式と見ることができます．

$(\style{color: red;}{\log_{\frac{1}{2}}x})^2 - \style{color: red;}{\log_{\frac{1}{2}}x} - 2 \gt 0\\ (\style{color: red;}{\log_{\frac{1}{2}}x} + 1)(\style{color: red;}{\log_{\frac{1}{2}}x} - 2) \gt 0\\ \style{color: red;}{\log_{\frac{1}{2}}x} \lt -1,\ 2 \lt \style{color: red;}{\log_{\frac{1}{2}}x}$


$\log_{\frac{1}{2}}x \lt -1$ のとき，

$\log_{\frac{1}{2}}x \lt \log_{\frac{1}{2}}(\frac{1}{2})^{-1}\\ x \style{color: red;}{\gt} (\frac{1}{2})^{-1}$

（底 $\frac{1}{2}$ が $1$ より小さいので，不等号の向きが変わります．）

$x \gt 2$


$2 \lt \log_{\frac{1}{2}}x$ のとき，

$\log_{\frac{1}{2}}(\frac{1}{2})^2 \lt \log_{\frac{1}{2}}x\\ (\frac{1}{2})^2 \style{color: red;}{\gt} x$

（底 $\frac{1}{2}$ が $1$ より小さいので，不等号の向きが変わります．）

$\frac{1}{4} \gt x$


よって，

$x \lt \frac{1}{4},\ 2 \lt x \quad \cdots ②$


①，②より，

$0 \lt x \lt \frac{1}{4},\ 2 \lt x$

$(5)$ $\log_{a}(x-1) \gt \log_{a}(3x+5)$

真数条件より，

$x-1 \gt 0$ かつ $3x+5 \gt 0$
$x \gt 1$ かつ $x \gt -\frac{5}{3}$

すなわち，

$x \gt 1 \quad \cdots ①$


この不等式は，対数の底が $a$ という文字になっています．

この問題では，$a$ の値に制限がないので，底の条件を満たすすべての値に対して解かなければなりません．


$0 \lt a \lt 1$ のときは不等号の向きが変わり，

$a \gt 1$ のときは不等号の向きは変わりません．

これら2つの場合で計算が異なるので，場合分けをします．


$0 \lt a \lt 1$ のとき

$\log_{a}(x-1) \gt \log_{a}(3x+5)\\ x-1 \style{color: red;}{\lt} 3x+5\\ 2x \gt -6\\ x \gt -3 \quad \cdots ②$

①，②より，

$x \gt 1$


$a \gt 1$ のとき，

$\log_{a}(x-1) \gt \log_{a}(3x+5)\\ x-1 \gt 3x+5\\ 2x \lt -6\\ x \lt -3 \quad \cdots ③$

①，③より，

解なし


よって，

$0 \lt a \lt 1$ のとき，　$x \gt 1$
$a \gt 1$ のとき，　解なし